Posted by blog guru matematika Kamis, 20 Januari 2022 0 komentar

 C. Fungsi Rasional

Fungsi rasional adalah fungsi yang memetakan suatu bilangan real x ke bilangan rasional \frac{g(x)}{h(x)}. dengang(x) dan h(x) adalah polinom-polinom dan h(x) tidak sama dengan nol.


Fungsi rasional yang paling sederhana adalah fungsi y = 1/x dan fungsi y = 1/x², yang keduanya memiliki pembilang konstanta dan penyebut polinomial dengan satu suku, serta kedua fungsi tersebut memiliki domain semua bilangan real kecuali x ≠ 0.


Fungsi y = 1/x


Fungsi ini disebut juga sebagai fungsi kebalikan karena setiap kita mengambil sembarangx (kecuali nol) maka akan menghasilkan kebalikannya sebagai nilai dari fungsi tersebut. Hal ini berarti x yang besar akan menghasilkan nilai fungsi yang kecil, demikian pula sebaliknya. Tabel dan grafik dari fungsi tersebut dapat dilihat seperti di bawah ini.


Tabel dan Grafik


Tabel dan grafik di atas memunculkan beberapa hal yang menarik. Pertama, grafik tersebut lolos uji garis vertikal, artinya, setiap garis vertikal pada bidang koordinat Cartesius memotong grafik pada maksimal satu titik. Sehingga, y = 1/x merupakan suatu fungsi. Kedua, karena pembagian tidak terdefinisi ketika pembaginya nol, maka nol tidak memiliki pasangan, yang menghasilkan jeda pada x = 0. Hal ini sesuai dengan domain dari fungsi tersebut, yaitu semua xanggota bilangan real kecuali 0. Ketiga, fungsi tersebut merupakan fungsi ganjil, dengan salah satu cabangnya berada di kuadran I sedangkan yang lainnya berada di kuadran III. Dan yang terakhir, pada kuadran I, ketika xmenuju tak hingga, nilai y menuju dan mendekati nilai nol. Secara simbolis dapat ditulis sebagaix → ∞, y → 0. Secara grafis, kurva dari grafik fungsi tersebut akan mendekati sumbu-xketika x mendekati tak hingga.

Selain itu kita juga dapat mengamati bahwa ketika x mendekati nol dari kanan maka nilaiy akan mendekati bilangan real positif yang sangat besar (positif tak hingga): x → 0+, y → ∞. Sebagai catatan, tanda + atau – yang terletak di atas mengindikasikan arah dari pendekatan, yaitu dari sisi positif (+) atau dari sisi negatif (–).


Contoh 1: Mendeskripsikan Sifat dari Ujung Grafik Fungsi Rasional


Untuk y = 1/x dalam kuadran III,


Deskripsikan sifat dari ujung grafik fungsi tersebut.

Deskripsikan apa yang terjadi ketika x mendekati nol.

Pembahasan Serupa dengan sifat grafiknya pada kuadran I, kita mendapatkan

1. Ketika x mendekati negatif tak hingga, nilai y akan mendekati nol. Apabila disimbolkan x → –∞, y → 0.

2. Ketika x mendekati nol dari kiri, nilai y akan mendekati negatif tak hingga. Pernyataan tersebut juga dapat dituliskan dengan x → 0–, y → –∞.


Fungsi y = 1/x²


Dari pembahasan sebelumnya, kita dapat menduga bahwa grafik dari fungsi ini akan jeda ketika x = 0. Akan tetapi karena kuadrat dari sembarang bilangan negatif adalah bilangan positif, cabang-cabang dari grafik fungsi ini akan berada di atas sumbu-x. Perhatikan bahwa fungsi y = 1/x² merupakan fungsi genap.

Tabel dan grafik IISerupa dengan y = 1/x, nilai x yang mendekati positif tak hingga, menghasilkan y yang mendekati nol: x → ∞, y → 0. Hal ini merupakan salah satu indikasi dari sifat asimtot dalam arah horizontal, dan kita mengatakan y = 0 merupakan asimtot horizontal dari fungsi y = 1/x dan y = 1/x². Secara umum,


Asimtot Horizontal

Diberikan suatu konstanta k, garis y = k merupakan asimtot horizontal dari fungsi V(x) jika x bertambah tanpa batas, menyebabkan V(x) mendekati k: x → –∞, V(x) → k atau x → ∞, V(x) → k.


Pada gambar (a) di bawah ini menunjukkan garis asimtot horizontal pada y = 1, yang menggambarkan grafik f(x) sebagai translasi grafik y = 1/x ke atas sejauh 1 satuan. Gambar (b) menunjukkan garis asimtot horizontal pada y = –2, yang menggambarkan grafik g(x) sebagai pergeseran grafik y = 1/x² ke bawah sejauh 2 satuan.

Asimtot Horizontal


Contoh 2: Mendeskripsikan Sifat dari Ujung Grafik Fungsi Rasional


Berdasarkan gambar (b) di atas, gunakan notasi matematika untuk,


Mendeskripsikan sifat dari ujung grafik tersebut.

Mendeskripsikan apa yang terjadi ketika x mendekati nol.

Pembahasan


Ketika x → –∞, g(x) → –2. Ketika x → ∞, y → –2.

Ketika x → 0–, g(x) → ∞. Ketika x → 0+, y → ∞.

Dari contoh 2b di atas, kita dapat melihat bahwa ketika x mendekati nol, gmenjadi sangat besar dan semakin bertambah tak terbatas. Hal ini merupakan indikasi dari sifat asimtot dalam arah vertikal, dan selanjutnya kita menyebut garis x = 0 merupakan asimtot vertikal untuk g (x = 0 juga merupakan asimtot vertikal untuk f). Secara umum,


Asimtot Vertikal

Diberikan suatu konstanta h, garis x = h merupakan asimtot vertikal untuk fungsi V jika x mendekati h, V(x) akan bertambah atau berkurang tanpa batas: ketika x → h+, V(x) → ±∞ atau ketika x → h–, V(x) → ±∞.


Mengidentifikasi dari asimtot horizontal dan vertikal sangatlah berguna karena grafik y = 1/x dan y = 1/x² dapat ditransformasi dengan menggesernya ke arah vertikal ataupun gorizontal. Fungsi,


Bentuk Pergeseran f


merupakan bentuk pergeseran dari fungsi y = 1/x. Sedangkan fungsi,


Bentuk Pergeseran g


merupakan bentuk pergeseran dari fungsi y = 1/x². Selanjutnya perhatikan contoh berikut.


Contoh 3: Menuliskan Persamaan dari Fungsi Rasional


Identifikasi fungsi yang diberikan oleh grafik pada gambar di bawah, kemudian gunakan grafik tersebut untuk menuliskan persamaan fungsi tersebut. Anggap |a| = 1.


Contoh 3


Pembahasan Dari grafik di atas, kita dapat melihat bahwa grafik tersebut merupakan pergeseran dari fungsi y = 1/x ke kanan sejauh 2 satuan dan ke bawah sejauh 1 satuan. Sehingga asimtot horizontal dan vertikal dari grafik tersebut secara berturut-turut adalahy = –1 dan x = 2.

Sehingga, persamaan dari grafik di atas adalah


Contoh 3 Fungsi


yang merupakan bentuk pergeseran dari fungsi y = 1/x.


JENIS – JENIS FUNGSI RASIONAL


1. Fungsi Polinom

Fungsi yang banyak mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebasnya. Bentuk umum persamaan polinom adalah :


y = an xn + an-1 xn-1 + . . . + a1 x + a0

dengan an , an-1 , …. , a1 , a0 € R koefisien/konstanta

suku banyak an ≠ 0 , dan n bilangan bulat positif.

Pangkat tertinggi pada variabel suatu fungsi polinom mencerminkan derajat polinomnya, sekaligus juga mencerminkan derajat persamaan atau fungsi tersebut.

Nilai suku banyak

Nilai suku banyak f(x) untuk x=k atau f(k) dapat ditentukan dengan substitusi atau dengan skema Horner


Cara subtitusi

Dengan mensubtitusikan x = k ke suku banyak

f(x) = anxn + an-1 xn-1 + . . . + a1 x + a0

f(x) = an kn + an-1 kn-1 + . . . + a1 k + a0

Cara skema horner

Misalkan f(k) = ax3+ bx2 + cx + d maka f(k) = ak3 + bk2 + ck + d

ax3 + bx2 + cx + d = (ak2 + bk + c)k+d

= ((ak + b)k + c)k+d

Contoh Soal

Diketahui suku banyak p(x) = 2x4 + x2 – 4x + 6


Tentukan derajat, koefisien-koefisien dan suku tetap dari suku banyak p(x)

b. Tentukan nilai suku banyak p(x) untuk x=-1

Jawab


P(x) = 2x4+ x2 – 4x + 6

= 2x4 + 0x3 + 1x2 +(-4)x + 6

Derajat suku banyak adalah 4

Koefisien x4 adalah 2

Koefisien x3 adalah 0

Koefisien x2 adalah 1

Koefisien x adalah -4

Suku tetap adalah 6


P(x) = 2x4+ x2 – 4x + 6

P(-1)  = 2(-1)4 + (-1)2 – 4(-1) + 6

= 2 + 1+ 4 + 6

= 13

Jadi nilai suku banyak p(x) untuk x=-1 adalah 13


2. Fungsi Linear

Fungsi linear ialah fungsi polinom khusus yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu, oleh karenanya sering juga disebut fungsi berderajat satu.

Bentuk persamaannya:

y = ax + b

Dimana :

y = Variable tidak bebas

x = Variable bebas

a dan b = konstanta.


Ciri – ciri persamaan linear:


Apabila a > 0 maka garis akan bergerak dari bawah ke kanan atas.

Apabila a < 0 maka garis akan bergerak dari kiri atas ke kanan bawah.

Apabila a1 ≠ a2 maka garis akan berpotongan.

Apabila a1 = a2 maka garis akan sejajar.

titik b merupakan perpotongan pada sumbu y.

 


Jika a positif maka gambar membuka ke atas.

jika a negatif maka gambar membuka ke bawah.

semakin besar a, maka gambar semakin sempit.

semakin kecil a maka gambar semakin lebar

titik puncak membelah gambar sama besar

titik a merupakan titik potong fungsi dengan sumbu y dimana x  =  0

titik b dan c merupakan titik potong fungsi dengan sumbu x dimana y  =  0

Titik p disebut titik puncaka disebut juga tan α, a juga berarti menunjukan arah.Rumus umum tan α :

a = y2 – y1

x2 – x1Contoh soal

x 1 2 3

y 9 11 13

Tentukan persamaannya

Jawab  :


y    =  ax + b                            9    =   a + b


9    =  a + b                              11  =   2a + b    _


11  =  2a + b                            -2   =  -a


13  =  3a + b                            a    =  2


9  =  a + b


9  =  2 + b


                                              B  =  7


Jadi persamaannya  y  2x + 7


3. Fungsi Kuadrat


Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2. Mirip dengan persamaan kuadrat, namun berbentuk suatu fungsi.


Bentuk umumnya adalah: f(x) = ax^2 + bx + c, dengan a, b, c suatu bilangan real dan a \neq 0.

Contoh: f(x) = 3x^2 + 5x + 7.

Dengan demikian, f(0) = 3 \cdot 0^2 + 5 \cdot 0 + 7 = 7, f(4) = 3 \cdot 4^2 + 5 \cdot 4 + 7 = 75, dll.


Ciri-ciri persamaan kuadrat

Jika a positif maka gambar membuka ke atas.

jika a negatif maka gambar membuka ke bawah.

semakin besar a, maka gambar semakin sempit.

semakin kecil a maka gambar semakin lebar

titik puncak membelah gambar sama besar

titik a merupakan titik potong fungsi dengan sumbu y dimana x  =  0

titik b dan c merupakan titik potong fungsi dengan sumbu x dimana y  =  0

Titik p disebut titik puncak

jika x  =  0 maka c merupakan titik potong dengan sumbu y

Grafik/Kurva Fungsi Kuadrat


Jika digambarkan pada koordinat Cartesius, grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Parabola nya terbuka ke atas jika a>0 dan terbuka ke bawah jika a<0.


Berikut ini langkah-langkah dalam menggambarkan grafik/kurva nya:


Pertama, tentukan titik potong y = f(x) = ax^2+bx+c terhadap sumbu X, yaitu nilai x saat y=0. Dengan demikian, nilai titik potong ini merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat ax^2+bx+c=0.


Kemudian, tentukan titik potong terhadap sumbu Y, yaitu nilai y saat x=0.


Setelah itu, tentukan sumbu simetri nya. Sumbu simetri merupakan garis yang membagi dua parabola menjadi sama besar. Titik potong sumbu simetri terhadap sumbu x dapat dihitung dengan menggunakan rumus:


x = \frac{-b}{2a} atau x = \frac{x_1+x_2}{2}.


Terakhir, tentukan titik puncak (titik balik maksimum atau minimum) grafiknya. Titik puncak merupakan titik di mana nilai y = f(x) mencapai nilai maksimum atau minimum, sehingga parabola nya akan berbalik arah.

Koordinat titik puncak parabola adalah:


(\frac{-b}{2a}, \frac{D}{-4a}).

Di mana D adalah diskriminan, yaitu D = b^2 - 4ac.

Setelah mendapatkan titik-titik di atas, maka kita dapat menggambar grafik fungsi kuadrat dengan menghubungkan titik-titik diatas dengan garis yang berbentuk parabola.

Agar parabolanya terlihat lebih halus (smooth), kita dapat menghitung/menentukan titik-titik lain yang dilewati oleh kurva/fungsi y=f(x).

Berikut ini merupakan contoh grafik fungsi kuadrat y = f(x) = x^2-5x+4:


fungsi kuadrat contoh soal


Contoh Soal:


Jika y = f(x) = 2x^2 - 11x + p mempunyai nilai minimum - \frac{1}{8}, tentukanlah nilai p.


Jawab:

Nilai minimum tersebut merupakan titik puncak y= f(x).


Dengan demikian, dengan menggunakan rumus titik puncak kita dapat:


Titik puncak = \frac{b^2-4ac}{-4a} = \frac{(-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot p}{-4 \cdot 2}.


\Longleftrightarrow \frac{121-8p}{-8} = - \frac{1}{8} \Longleftrightarrow 121-8p=1 \longrightarrow 8p = 120.


Dengan demikian, p = \frac{120}{8} = 15.


4.Fungsi Kubik


Fungsi kubik atau fungsi berderajat tiga ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat tiga. Setiap fungsi kubik setidak – tidaknya mempunyai sebuah titik belok (inflextion point), yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung atau cembung menjadi cekung. Selain titik belok, sebuah fungsi kubik mungkin pula mempunyai satu titik ekstrim (maksimum atau minimum) atau titik dua ekstrim (maksimum atau minimum). Ada tidaknya titik ekstrim dalam suatu fungsi kubik tergantung pada besarnya nilai-nilai b, c, dan d di dalam persamaannya. Dengan demikian terdapat beberapa kemungkinan mengenai bentuk kurva suatu fungsi kubik. Fungsi-fungsi kubik hanya mempunyai titik belok, tanpa titik ekstrim.


Fungsi Kubik

Mencari :


Titik Ekstrims

Titik Belok

Y = f(X)


v  Titik Ekstrims pada saat Y’ = 0


v  Titk Maksimum : Y’’ < 0, pada Y’ =0


v  Titk Minimum : Y’’ > 0, pada Y’ = 0


v  Titik belok : Y’’ = 0 , kemudian substitusikan ke fungsi asal, yi  Y = f(X)


Misal : C =1/3Q3 -3Q2 +8Q +5

C = Y dan Q = X (analogi rumus)


Penyelesaian :


C’ = 0 , maka 0 = Q2 -6Q +8

0 = (Q – 4) (Q – 2)

Q1 = 4 dan Q2 = 2

C’’ = 0 , maka 0 = 2Q – 6

Q1 = 4, maka 0 = 2 (4) – 6 = 2 ;(2>0)

Pada Q1 = 4 merupakan titik minimum

Q1 = 4 ;C=1/3(4)3 – 3(4)2 +8(4) +5 =10,33

Jadi pada Q1 =4,merupakan titik minimum pada (4 ; 10,33)

Q2 = 2 , pada C’’ = 2(2)-6 = -2 ;(-2<0)

Sehingga pada Q2 = 2 merupakan titik maksimum .

Q2 = 2, maka C = 1/3(2)3 – 3(2)2 +B(2)+5 = 11,67

Titik maksimum pada (2 ; 11,67)

Mencari titik belok

Titik belok pada saat C’’ = 0

C’’ = 2Q -6 ; 2Q -6 = 0, maka Q =3

Q = 3 , maka C =1/3(3)3 – 3(3)2 =*(3) +5 = 11

Titik belok pada (3 ; 11)


Contoh Soal :


Permintaan suatu barang : Qd = 25 – 3P2

Apabila P = 5, berapa elastisitas permintaannya :

Qd = 25 – 3P2  ; Q’d = -6P

Ed = -6 P. P

25 – 3P2  = 3 (elastik)


Fungsi bikuadrat

Merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesarnya Vvariabelnya adalah 2. Mirip dengan persamaan kuadrat, namun berbentuk suatu fungsi.


GRAFIK/KURVA FUNGSI KUADRAT


Berikut ini langkah-langkah dalam menggambarkan grafik/kurva nya:


Pertama, tentukan titik potong  terhadap sumbu , yaitu nilai  saat . Dengan demikian, nilai titik potong ini merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat .

Kemudian, tentukan titik potong terhadap sumbu , yaitu nilai  saat .

Setelah itu, tentukan sumbu simetri nya. Sumbu simetri merupakan garis yang membagi dua parabola menjadi sama besar. Titik potong sumbu simetri terhadap sumbu  dapat dihitung dengan menggunakan rumus:


atau .


Terakhir, tentukan titik puncak (titik balik maksimum atau minimum) grafiknya. Titik puncak merupakan titik di mana nilai  mencapai nilai maksimum atau minimum, sehingga parabola nya akan berbalik arah.

Koordinat titik puncak parabola adalah:

Di mana D adalah diskriminan, yaitu .

Setelah mendapatkan titik-titik di atas, maka kita dapat menggambar grafik fungsi kuadrat dengan menghubungkan titik-titik diatas dengan garis yang berbentuk parabola.

Agar parabolanya terlihat lebih halus (smooth), kita dapat menghitung/menentukan titik-titik lain yang dilewati oleh kurva/fungsi .


 


6. Fungsi Pangkat

Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, dan c bilangan real dan disebut fungsi kuadrat.

Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat  ax2 + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.

Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 + bp + c.

Contoh 1:

Ditentukan: f(x) = x2 – 6x – 7

Ditanyakan:


nilai pembuat nol fungsi f

nilaif untuk x = 0 , x = –2

Jawab:


Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jikaf(x) = 0

x2 – 6 x – 7 = 0

(x – 7) (x + 1) = 0

x = 7  atau  x = –1

Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7  dan –1


Untuk x = 0   maka f(0) = –7

x = –2  maka f(–2) = (–2)2 – 6 (–2) – 7 = 9


Contoh 2:

Tentukan nilai p agar ruas kanan f(x) = 3 x2 + (p – 1) + 3 merupakan bentuk kuadrat sempurna.

Jawab :

Supaya merupakan suatu kuadrat sempurna, syaratnya D = 0.

D = (p – 1)2 – 4 . 3 . 3 = 0

p2 – 2p – 35 = 0

(p – 7) (p + 5) = 0

p = 7   atau   p = –5

Jadi, agar ruas kanan f(x) merupakan suatu kuadrat sempurna, maka p = 7 atau p = –5.


Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi KuadratUntuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:

1)      f(x) = x2 – 2x – 3

=  x2 – 2x + 1 – 4

= (x – 1)2 – 4

Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)2 mempunyai nilai paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x – 1)2 – 4 mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –4.

Jadi, f(x) = x2 – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x = 1.

2)      f(x) = –x2 + 4x + 5

= –x2 + 4x – 4 + 9

= –(x2 – 4x + 4) + 9

= –(x – 2)2 + 9

Nilai terbesar dari – (x – 2)2 sama dengan nol untul x = 2.

Dengan demikan nilai terbesar dari – (x – 2)2 + 9 adalah 0 + 9 = 9.

Jadi, f(x) = –(x – 2)2 + 9 atau f(x) = –x2 + 4x + 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x = 2.

Sekarang perhatikan bentuk umum  f(x) = ax2 + bx + c

Dengan uraian di atas, diperoleh:

Fungsi kuadrat f(x) = a x2 + b x + c

Untuk a > 0, f mempunyai nilai minimum  untuk

Untuk a < 0, f mempunyai nilai maksimum  untuk

Contoh:

Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x2 + 4x + 7

Jawab:

f(x) = 2x2 + 4x + 7  ,  a = 2  ,  b = 4  , c = 7

Nilai minimum fungsi f = 5

TERIMA KASIH ATAS KUNJUNGAN SAUDARA
Judul:
Ditulis oleh blog guru matematika
Rating Blog 5 dari 5
Semoga artikel ini bermanfaat bagi saudara. Jika ingin mengutip, baik itu sebagian atau keseluruhan dari isi artikel ini harap menyertakan link dofollow ke https://bmb-channel.blogspot.com/2022/01/fungsi-rasional-fungsi-rasional-adalah.html. Terima kasih sudah singgah membaca artikel ini.

0 komentar:

Posting Komentar

Trik SEO Terbaru support Online Shop Baju Wanita - Original design by Bamz | Copyright of Belajar Kreatif dan Inovatif .