Belajar Kreatif dan Inovatif

 A. KOMPOSISI FUNGSI

Fungsi komposisi merupakan penggabungan operasi pada dua jenis fungsi. Sebelum mengenal lebih dalam mengenai fungsi komposisi, hal utama yang harus dipahami dan dikenal sudah tentu mengenai apa yang disebut dengan fungsi.

Seperti yang sudah dijelaskan sedikit di atas, terdapat dua jenis fungsi yang perlu dipahami yakni fungsi komposisi dan fungsi invers. Fungsi komposisi adalah penggabungan dua fungsi f(x) dan g (x) yang disimbolkan dengan ‘o’.

Rumus fungsi komposisi biasa dilambangkan dengan ‘o’ yang kemudian bisa dibaca sebagai komposisi maupun bundaran. Fungsi ini terbentuk dari f(x) dan g(x) yakni (f o g)(x) yang artinya g dimasukkan ke dalam f. Dan (g o f)(x) yang artinya f dimasukkan ke g, sementara fungsi tunggal merupakan fungsi yang bisa dilambangkan dengan huruf ‘f o g’ dibaca ‘ f bundaran g’.

Sementara itu, invers merupakan kebalikan sama dengan artinya invers yang berarti fungsi kebalikan. Dalam pembahasan mengenai relasi dan fungsi ini, himpunan yang terlibat digolongkan ke dalam tiga jenis daerah.

Ketiganya di antaranya ialah Daerah Asal (domain) atau bisa disebut dengan himpunan A, Daerah Kawan (kodomain) himpunan B dan Daerah Hasil (range fungsi) hasil pemetaan antara domain dan kodomain.

Invers fungsi komposisi muncul akibat adanya fungsi yang dinotasikan dengan f (x) lalu memiliki hubungan pada setiap himpunan A ke setiap himpunan B. Sehingga akan menjadi sebuah fungsi invers yang dinotasikan dengan f-1(x) karena memiliki relasi dari himpunan B ke setiap himpunan A. Fungsi invers diperoleh dari f: A → B berubah menjadi f-1 B → A.

Sehingga daerah asal atau domain f (x) menjadi daerah kawan, sementara kodomain menjadi daerah hasil atau range f-1 (x) yang berupa himpunan , hal yang sama berlaku pada himpunan B. Fungsi invers atau dikenal sebagai fungsi kebalikan adalah fungsi yang berkebalikan dari fungsi asalnya. Jika f adalah fungsi satu-satunya dan fungsi pada (bijektif).

Hubungan di atas bisa dinyatakan seperti (f-1)-1 = f, mudahnya fungsi bijektif berlangsung pada saat jumlah anggota domain sama dengan anggota kodomain. Perlu diketahui jika tidak ada dua atau lebih domain yang berbeda dipetakkan ke kodomain yang sama. Selain itu setiap kodomain mempunyai pasangan di domain.

Contoh Fungsi Komposisi

(f o g) (x)

Cara membaca (f o g) (x) adalah dengan menyebut ‘fungsi f komposisi g’ atau ‘f bundaran g’. Artinya fungsi yang dipetakkan oleh fungsi g(x) kemudian dilanjutkan pada fungsi f(x). Sehingga fungsi g harus dikerjakan lebih dahulu, setelah itu hasilnya dimasukkan ke dalam fungsi f lalu hasilnya adalah (f o g) (x) = f (g(x)).

(g o f) (x)

Cara membaca (g o f) (x) adalah dengan ‘fungsi g komposisi f’ atau ‘g bundaran f’, artinya fungsi yang dipetakan terhadap fungsi f(x) kemudian dilanjutkan oleh fungsi g(x). Jika g o f dipilih untuk dikerjakan lebih dahulu adalah fungsi f, lalu dilanjutkan ke dalam fungsi g sehingga bisa dinotasikan seperti berikut (g o f) (x) = g(f(x)).

Jika terdapat dua fungsi yang kemudian digabungkan secara urut maka akan membentuk sebuah fungsi baru dan disebut dengan fungsi komposisi. Fungsi komposisi merupakan gabungan dari dua operasi fungsi f(x) dan g(x) sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru. Jenis operasi komposisi biasa dilambangkan dengan ‘o’ dibaca dengan komposisi atau bundaran.

Fungsi tunggal merupakan fungsi yang bisa dilambangkan dengan ‘f o g’ dibaca dengan ‘fungsi f bundaran g’. Adalah fungsi g yang dikerjakan lebih dulu kemudian dilanjutkan dengan f, sementara untuk fungsi ‘g o f’ dibaca fungsi g bundaran f, adalah fungsi f yang dikerjakan lebih dahulu ketimbang g dan hal ini bisa dilihat dari contoh soal fungsi komposisi.

Sifat-sifat Fungsi Komposisi

Tidak berlaku sifat komutatif, (f o g)(x) ≠ (g o f)(x).

Berlaku sifat asosiatif (f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x).

Adanya unsur identitas (I)(x), (f o l)(x) = (l o f)(x) = f(x).

Contoh Soal Fungsi Komposisi

Jika (f o g)(x) = x2 + 3x + 4 dan g(x) = 4x – 5. Berapakah nilai dari f(3).

(f o g)(x) = x2 + 3x + 4

f (g(x)) = x2 + 3x + 4

g (x) = 3, sehingga

4x – 5 + 3

4x = 8

x = 2

karena f (g(x) = x2 + 3. 2 + 4 = 4 + 6 + = 14/

Diketahui f (x) = 2x dan g(x) = x-3. Tentukan (g o f)(x)

g o f)(x) = g(f(x))

(g o f)(x) = g(2x)

(g o f)(x) = (2x) – 3

(g o f)(x) = 2x – 3

Tentukan fungsi invers dari f(x) = x – 3 maka f-1 (x)

f(x) = x – 3

y = x – 3

x = y + 3

Ganti x menjadi f-1 (x) dan y menjadi x sehingga diperoleh hasol f-1 (x) = x + 3.

Diketahui f (x) = 3x + 4 dan g (x) = 3x, berapakah nilai dari ( fo g)(2)

(f o g) (x) = f (g(x))

= 3 (3x) + 4

= 9x + 4

( f o g) (2) = 9(2) + 4 = 22

Fungsi Komposisi dalam Kehidupan

Dalam pembuatan buku bisa diproses melalui dua tahap, yakni tahap editorial yang kemudian dilanjutkan ke tahap produksi. Pada tahap editorial, naskah akan diedit di layout menjadi file yang siap dicetak. Selanjutnya, file diolah pada tahap produksi mencetak agar menjadi sebuah buku, proses pembuatan buku menerapkan algoritma fungsi komposisi.

Fungsi kedua adalah untuk mendaur ulang logam, yakni yang awalnya pecahan logam campuran akan dijadikan seperti serpihan kecil. Kemudian drum magnetic pada mesin penghancur memisahkan logam magnetic dengan memuat unsur bes. Setelah itu sisa pecahan logam dikeruk dan dipisahkan, sementara serpihan besi dilebur menjadi baja baru, proses ini menggunakan fungsi komposisi.

Demikian penjelasan mengenai pengertian fungsi komposisi, jenis-jenis dan contohnya. Bersama Sampoerna Academy, para siswa tak hanya diajarkan hitung menghitung dasar, tetapi juga memecahkan masalah sesuai dengan penerapan kurikulum dengan metode STEAM. Para siswa bisa menjadi lebih aktif dan terlibat dalam pendidikan serta pengembangan keterampilan interpersonal yang penting saat bekerja sama memecahkan masalah.

Guru pembimbing di Sampoerna Academy akan memfasilitasi pembelajaran dengan menciptakan lingkungan inklusif yang kondusif bagi pemikiran kreatif dan berfokus pada penemuan bersama. Tertarik mengetahui lebih lanjut mengenai apa saja yang bakal didapat anak-anak semasa sekolah, silahkan bergabung dengan Sampoerna Academy lewat tautan berikut.

 B. INVERS FUNGSI

Invers fungsi adalah salah satu hal yang harus kamu ketahui ketika mempelajari materi fungsi di matematika. Invers sendiri artinya adalah kebalikan, dan ini memang sesuai dengan pengertian dari invers fungsi yang juga dikenal sebagai fungsi kebalikan. Pada artikel kali ini kita akan membahas mengenai invers fungsi secara lebih lanjut, dibaca sampai akhir ya!

Invers Fungsi

Invers fungsi adalah sebuah fungsi yang berkebalikan dari fungsi asalnya. Misalnya anggap saja f sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B dan g fungsi dari himpunan B ke himpunan A sedemikian sehingga g( f(a) ) = a dan f( f(b) ) = b untuk setiap a anggota himpunan A dan b anggota himpunan B, maka g adalah invers fungsi dari f sehingga bisa ditulis menjadi f-1.

Sebelum kita membahas masalah ini secara lebih jauh, akan lebih baik jika kita mengetahui dan mengenali dahulu fungsi yang memiliki invers. Sebuah fungsi f akan mempunyai fungsi invers (kebalikan) f-1 jika f adalah fungsi satu-satu dan fungsi pada (bijektif). Bisa juga dinyatakan seperti berikut ini:

(f-1)-1 = f

Contohnya f adalah fungsi yang memetakan x ke y, sehingga bisa dituliskan menjadi y = f(x), maka f-1 merupakan fungsi yang memetakan y ke x, ditulis x = f-1(y).

Ada 3 tahapan untuk menentukan fungsi invers, yaitu:

Ubah bentuk y = f(x) menjadi bentuk x = f(y).

Tuliskan x sebagai f-1(y) sehingga f-1(y) = f(y).

Ganti variabel y dengan x sehingga didapatkan rumus fungsi invers f-1(x).

Contoh:

Invers fungsi adalah salah satu hal yang harus kamu ketahui ketika mempelajari materi fungsi di matematika. Invers sendiri artinya adalah kebalikan, dan ini memang sesuai dengan pengertian dari invers fungsi yang juga dikenal sebagai fungsi kebalikan. Pada artikel kali ini kita akan membahas mengenai invers fungsi secara lebih lanjut, dibaca sampai akhir ya!

Invers Fungsi

Invers fungsi adalah sebuah fungsi yang berkebalikan dari fungsi asalnya. Misalnya anggap saja f sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B dan g fungsi dari himpunan B ke himpunan A sedemikian sehingga g( f(a) ) = a dan f( f(b) ) = b untuk setiap a anggota himpunan A dan b anggota himpunan B, maka g adalah invers fungsi dari f sehingga bisa ditulis menjadi f-1.

Sebelum kita membahas masalah ini secara lebih jauh, akan lebih baik jika kita mengetahui dan mengenali dahulu fungsi yang memiliki invers. Sebuah fungsi f akan mempunyai fungsi invers (kebalikan) f-1 jika f adalah fungsi satu-satu dan fungsi pada (bijektif). Bisa juga dinyatakan seperti berikut ini:

(f-1)-1 = f

Contohnya f adalah fungsi yang memetakan x ke y, sehingga bisa dituliskan menjadi y = f(x), maka f-1 merupakan fungsi yang memetakan y ke x, ditulis x = f-1(y).

Ada 3 tahapan untuk menentukan fungsi invers, yaitu:

Ubah bentuk y = f(x) menjadi bentuk x = f(y).

Tuliskan x sebagai f-1(y) sehingga f-1(y) = f(y).

Ganti variabel y dengan x sehingga didapatkan rumus fungsi invers f-1(x).

Contoh:

1. Tentukan fungsi invers dari f(x) = 2x² + 5!

Penyelesaian:

f(x) = 2x² + 5y = 2x² + 5

y-5 = 2x²

(y-5)/2 = x²

x = √[(y-5)/2]

f-1(x) = √[(x-5)/2

2. Tentukan fungsi invers dari g(x) = (2x – 1)/6!

Penyelesaian:

g(x) = (2x – 1)/6

y = (2x – 1)/6

6y = 2x – 1

6y+1 = 2x

x = (6y+1)/2

g-1(x) = (6x+1)/2

3. Tentukan fungsi invers dari h(x) = ³√x+2!

h(x) = ³√x+2

y = ³√x+2

y+2 = ³√x

x = (y+2)³

h-1(x) = (x+2)³

 B. Fungsi Kuadrat

Fungsi Kuadrat – Hello para pembaca dosenpintar.com, Pada pembahasan kali ini kita akan membahas mengenai fungsi kuadrat. Dipertemuan sebelumnya kami telah membahas tentang bilangan asli dan contohnya. Kita simak langsung beserta ulasan lengkapnya di bawah ini.

Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2. Hampir mirip seperti persamaan kuadrat, namun berbentuk suatu fungsi. Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum, f(x) = ax2 + bx + c = 0 dimana a, b, dan c adalah bilangan real dan a ≠ 0.

Contoh Fungsi Kuadrat:

Contoh 1 :

Diketahui : f(x) = x2 – 6x – 7

Ditanya :

nilai pembuat nol fungsi f

nilai f untuk x = 0 , x = –2

Jawab:

Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0

x2 – 6 x – 7 = 0

(x – 7) (x + 1) = 0

x = 7 atau x = –1

Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7 dan –1

Untuk x = 0 maka f(0) = –7

x = –2 maka f(–2) = (–2)2 – 6 (–2) – 7 = 9

 Contoh 2 :

Tentukan nilai p agar ruas kanan f(x) = 3 x2 + (p – 1) + 3 merupakan bentuk kuadrat sempurna.

Jawab :

Supaya merupakan suatu kuadrat sempurna, syaratnya D = 0.

D = (p – 1)2 – 4 . 3 . 3 = 0

p2 – 2p – 35 = 0

(p – 7) (p + 5) = 0

p = 7 atau p = –5

Jadi, agar ruas kanan f(x) merupakan suatu kuadrat sempurna, maka p = 7 atau p = –5.

Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi f(x) = ax2 + bx + c = 0 memiliki dua kemungkinan, yaitu terbuka ke atas atau terbuka ke bawah. Jika parabola terbuka ke atas, maka fungsi f(x) merupakan nilai minimum (Perhatikan gambar (a)). Sementara apabila parabola terbuka ke bawah, maka fungsi f(x) merupakan nilai maksimum (Perhatikan gambar (b)).

Tercapainya nilai maksimum dan nilai minimum fungsi kuadrat tergantung pada koefisien (pengali). Untuk dapat menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, mari perhatikan uraian berikut ini:

f(x) = x2 – 2x – 3

       = x2 – 2x + 1 – 4

       =(x – 1)2 – 4

Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)2 mempunyai nilai paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x – 1)2 – 4 mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –4.

Jadi, f(x) = x2 – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x = 1.

Menentukan Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat Tertentu

Suatu fungsi kuadrat dapat ditentukan apabila fungsi itu:

melalui tiga titik yang berlainan.

memotong sumbu-X dan melalui sebuah titik lain.

melalui sebuah titik dan koordinat titik terendah/tertinggi diketahui.

menyinggung sumbu-X dan melalui sebuah titik.

Bunyi hukum Newton I, II, III 

Selamat Berjumpa Kembali Belajar Bersama brooo

Hukum Newton 1, 2, 3 erat kaitannya dalam kehidupan sehari-hari dan dapat dihitung gayanya menggunakan rumus tertentu. Nama Sir Isaac Newton sangat berjasa dalam ilmu fisika yang berkaitan dengan dinamika. Dari pengamatan dan percobaan, dia menemukan Hukum Newton yang terbagi menjadi tiga bagian. Hukum Newton menemukan adanya pengaruh gaya pada suatu benda saat bergerak.

Mengutip dari laman Sumber Belajar Kemendikbud, Hukum Gerak Newton menjadi hukum dasar dinamika dengan merumuskan pengaruh gaya terhadap perubahan gerak benda. Rumusan ini lantas dikenal luas sebagai Hukum Newton 1, Hukum Newton 2, dan Hukum Newton 3. Di samping itu sebagai penghormatan, nama "Newton" diabadikan sebagai satuan gaya. Secara ringkas, Hukum Newton 1 berkaitan dengan konsep kelembaman yang sebelumnya telah digagas Galileo. Hukum Newton 2 terkait percepatan dan gaya sebagai penyebab percepatan. Lalu, Hukum Newton 3 membahas mengenai aksi-reaksi.

Secara ringkas, Hukum Newton 1 berkaitan dengan konsep kelembaman yang sebelumnya telah digagas Galileo. Hukum Newton 2 terkait percepatan dan gaya sebagai penyebab percepatan. Lalu, Hukum Newton 3 membahas mengenai aksi-reaksi.

Hukum Newton 1 Hukum Newton 1 menyatakan, apabila resultan gaya yang bekerja pada suatu benda sama dengan nol, benda yang awalnya diam akan selamanya diam. Sementara benda yang awalnya bergerak lurus beraturan juga akan selamanya lurus beraturan dalam kecepatan tetap. Pada Hukum Newton 1, menurut laman M-edukasi Kemdikbud, sifat benda yang cenderung mempertahankan keadaannya disebut dengan sifat kelembaman atau inersia. Hukum Newton 1 lantas disebut pula Hukum Kelembaman. Rumus Hukum Kelembaman: ∑F = 0 atau Resultan Gaya (kg m/s2) Bentuk dari momen inersia beragam seperti momen inersia linear, momen inersia massa, momen inersia polar atau kutub. Besaran tegangan-tegangan pada bahan seperti tegangan lengung dan tegangan puntir, menghitungnya berdasarkan momen inersia. Contoh Hukum Newton 1 adalah saat naik mobil yang bergerak cepat lalu direm, maka penumpang otomatis terdorong ke depan. Contoh lain yaitu ketika mobil berjalan pelan lalu digas mendadak maka penumpang di dalamnya terdorong ke arah belakang. Kemudian, sebuah koin yang ditaruh di atas kain lalu kain itu ditarik cepat dan koin tetap berada di tempatnya, juga menerapkan Hukum Newton 1.

Hukum Newton 2 Hukum Newton 2 menyatakan, percepatan sebuah benda akan berbanding lurus dengan gaya total yang bekerja padanya serta berbanding terbalik dengan massanya. Arah percepatan akan sama dengan arah gaya total yang bekerja padanya. Melalui hukum ini, gaya benda menjadi semakin besar ketika mendapatkan dorongan gaya searah laju arah benda tersebut. Sebaliknya, jika diberikan gaya berlawanan (gaya tolak) melawan gaya benda itu, laju gaya akan melambat atau mengecil karena terjadi perubahan kecepatan dan perubahan laju. Besar kecilnya perlambatan atau percepatan yang diberikan pada benda maka memengaruhi arah gerak benda.

Rumus Hukum Newton 2: F = m.a, dengan "F" adalah gaya (N), "m" adalah massa benda (kg), dan "a" adalah percepatan (m/s2). Contoh Hukum Newton 2 yaitu terlihat pada waktu melempar batu secara vertikal ke atas. Awalnya batu melaju konstan ke atas, lalu melambat dan berhenti akibat adanya gaya gravitasi. Batu tersebut selanjutnya turun ke Bumi dengan kecepatan dari massa batu ditambah gaya gravitasi yang mempercepatnya.

Hukum Newton 3 menyatakan, tiap aksi akan menimbulkan sebuah reaksi. Apabila suatu benda memberi gaya pada benda lain, benda yang mendapat gaya itu akan memberikan gaya yang besarnya sama dengan gaya yang diterima dari benda pertama, tetapi arahnya akan berlawanan. Dari hukum ini diketahui tiap aksi berkonsekuensi memunculkan reaksi, atau bisa dikatakan ada sebab dan akibat. Pemberian gaya sebab, menghasilkan gaya akibat. Gaya aksi reaksi bekerja saling berlawanan dan bekerja pada benda yang berbeda-beda. Rumus Hukum Newton 3 ada tiga jenis yaitu: Rumus gaya gesek: Fg = u x N, dengan Fg = gaya gesek (N), u = koefisien gesekan, dan N = Gaya normal (N). Rumus gaya berat: w = m x g, dengan w = Gaya berat (N), m = massa benda (kg), dan g = gravitasi Bumi (m/s2) Rumus berat sejenis: s = p x g, dengan s = berat jenis (N/m3),p = massa jenis (kg/m3), dan g = berat benda (N). Contoh penerapan Hukum Newton 3 bisa dilihat saat memukul paku memakai palu. Palu adalah gaya aksi dan gaya dari paku merupakan gaya reaksi dari pemukulan melalui palu.

Nah, untuk meringkas pengertian, rumus hingga bunyi Hukum Newton 1,2, dan 3 elo bisa lihat tabel di bawah ini ya supaya gak lupa dan ketuker-tuker. Jangan lupa share juga ke temen-temen yang lain!

 A. Fungsi linear

Pengertian dan Rumus Fungsi Linear

Pengertian rumus fungsi linear adalah salah satu metode menghitung dalam fungsi linear. Fungsi linear merupakan sebuah fungsi yang variabelnya berpangkat satu atau fungsi yang grafiknya adalah garis lurus.

Fungsi linear memiliki bentuk umum sebagai berikut:

f: x → mx + c atau

f (x) = mx + c atau

y = mx + c

m adalah gradien atau kemiringan atau kecondongan, c adalah konstanta.

Fungsi linier adalah fungsi y = f (x), di mana untuk semua x di daerah asalnya, f (x) = ax + b (a, b∈R dan a ≠ 0). Fungsi linier juga disebut fungsi polinomial orde pertama (kelipatan) dari variabel x.

Rumus Fungsi Linear

Pengertian dan Rumus Fungsi Linear dalam Matematika (1) 

Untuk melukis grafik fungsi linear terdapat beberapa langkah yang perlu dicermati, 

berikut langkah-langkahnya:

Menentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 didapatkan koordinat A(x1, 0).

Menentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 didapatkan koordinat B(0, y1).

Menghubungkan dua titik A dan B sehingga akan terbentuk garis lurus persamaan liniear yang bisa ditulis dengan symbol y = ax + b. Apabila b bernilai positif maka fungsi linear akan dilukis garis dari kiri bawah ke kanan atas.

Pedoman yang juga perlu diingat dalam rumus fungsi linear adalah apabila b bernilai negatif, maka fungsi linear akan digambarkan garis dari kiri atas ke kanan bawah. Sementara, bila b bernilai nol, fungsi linear akan digambarkan garis yang sejajar dengan sumbu datar x. (DNR) 

 C. Fungsi Rasional

Fungsi rasional adalah fungsi yang memetakan suatu bilangan real x ke bilangan rasional \frac{g(x)}{h(x)}. dengang(x) dan h(x) adalah polinom-polinom dan h(x) tidak sama dengan nol.

Fungsi rasional yang paling sederhana adalah fungsi y = 1/x dan fungsi y = 1/x², yang keduanya memiliki pembilang konstanta dan penyebut polinomial dengan satu suku, serta kedua fungsi tersebut memiliki domain semua bilangan real kecuali x ≠ 0.

Fungsi y = 1/x

Fungsi ini disebut juga sebagai fungsi kebalikan karena setiap kita mengambil sembarangx (kecuali nol) maka akan menghasilkan kebalikannya sebagai nilai dari fungsi tersebut. Hal ini berarti x yang besar akan menghasilkan nilai fungsi yang kecil, demikian pula sebaliknya. Tabel dan grafik dari fungsi tersebut dapat dilihat seperti di bawah ini.

Tabel dan Grafik

Tabel dan grafik di atas memunculkan beberapa hal yang menarik. Pertama, grafik tersebut lolos uji garis vertikal, artinya, setiap garis vertikal pada bidang koordinat Cartesius memotong grafik pada maksimal satu titik. Sehingga, y = 1/x merupakan suatu fungsi. Kedua, karena pembagian tidak terdefinisi ketika pembaginya nol, maka nol tidak memiliki pasangan, yang menghasilkan jeda pada x = 0. Hal ini sesuai dengan domain dari fungsi tersebut, yaitu semua xanggota bilangan real kecuali 0. Ketiga, fungsi tersebut merupakan fungsi ganjil, dengan salah satu cabangnya berada di kuadran I sedangkan yang lainnya berada di kuadran III. Dan yang terakhir, pada kuadran I, ketika xmenuju tak hingga, nilai y menuju dan mendekati nilai nol. Secara simbolis dapat ditulis sebagaix → ∞, y → 0. Secara grafis, kurva dari grafik fungsi tersebut akan mendekati sumbu-xketika x mendekati tak hingga.

Selain itu kita juga dapat mengamati bahwa ketika x mendekati nol dari kanan maka nilaiy akan mendekati bilangan real positif yang sangat besar (positif tak hingga): x → 0+, y → ∞. Sebagai catatan, tanda + atau – yang terletak di atas mengindikasikan arah dari pendekatan, yaitu dari sisi positif (+) atau dari sisi negatif (–).

Contoh 1: Mendeskripsikan Sifat dari Ujung Grafik Fungsi Rasional

Untuk y = 1/x dalam kuadran III,

Deskripsikan sifat dari ujung grafik fungsi tersebut.

Deskripsikan apa yang terjadi ketika x mendekati nol.

Pembahasan Serupa dengan sifat grafiknya pada kuadran I, kita mendapatkan

1. Ketika x mendekati negatif tak hingga, nilai y akan mendekati nol. Apabila disimbolkan x → –∞, y → 0.

2. Ketika x mendekati nol dari kiri, nilai y akan mendekati negatif tak hingga. Pernyataan tersebut juga dapat dituliskan dengan x → 0–, y → –∞.

Fungsi y = 1/x²

Dari pembahasan sebelumnya, kita dapat menduga bahwa grafik dari fungsi ini akan jeda ketika x = 0. Akan tetapi karena kuadrat dari sembarang bilangan negatif adalah bilangan positif, cabang-cabang dari grafik fungsi ini akan berada di atas sumbu-x. Perhatikan bahwa fungsi y = 1/x² merupakan fungsi genap.

Tabel dan grafik IISerupa dengan y = 1/x, nilai x yang mendekati positif tak hingga, menghasilkan y yang mendekati nol: x → ∞, y → 0. Hal ini merupakan salah satu indikasi dari sifat asimtot dalam arah horizontal, dan kita mengatakan y = 0 merupakan asimtot horizontal dari fungsi y = 1/x dan y = 1/x². Secara umum,

Asimtot Horizontal

Diberikan suatu konstanta k, garis y = k merupakan asimtot horizontal dari fungsi V(x) jika x bertambah tanpa batas, menyebabkan V(x) mendekati k: x → –∞, V(x) → k atau x → ∞, V(x) → k.

Pada gambar (a) di bawah ini menunjukkan garis asimtot horizontal pada y = 1, yang menggambarkan grafik f(x) sebagai translasi grafik y = 1/x ke atas sejauh 1 satuan. Gambar (b) menunjukkan garis asimtot horizontal pada y = –2, yang menggambarkan grafik g(x) sebagai pergeseran grafik y = 1/x² ke bawah sejauh 2 satuan.

Asimtot Horizontal

Contoh 2: Mendeskripsikan Sifat dari Ujung Grafik Fungsi Rasional

Berdasarkan gambar (b) di atas, gunakan notasi matematika untuk,

Mendeskripsikan sifat dari ujung grafik tersebut.

Mendeskripsikan apa yang terjadi ketika x mendekati nol.

Pembahasan

Ketika x → –∞, g(x) → –2. Ketika x → ∞, y → –2.

Ketika x → 0–, g(x) → ∞. Ketika x → 0+, y → ∞.

Dari contoh 2b di atas, kita dapat melihat bahwa ketika x mendekati nol, gmenjadi sangat besar dan semakin bertambah tak terbatas. Hal ini merupakan indikasi dari sifat asimtot dalam arah vertikal, dan selanjutnya kita menyebut garis x = 0 merupakan asimtot vertikal untuk g (x = 0 juga merupakan asimtot vertikal untuk f). Secara umum,

Asimtot Vertikal

Diberikan suatu konstanta h, garis x = h merupakan asimtot vertikal untuk fungsi V jika x mendekati h, V(x) akan bertambah atau berkurang tanpa batas: ketika x → h+, V(x) → ±∞ atau ketika x → h–, V(x) → ±∞.

Mengidentifikasi dari asimtot horizontal dan vertikal sangatlah berguna karena grafik y = 1/x dan y = 1/x² dapat ditransformasi dengan menggesernya ke arah vertikal ataupun gorizontal. Fungsi,

Bentuk Pergeseran f

merupakan bentuk pergeseran dari fungsi y = 1/x. Sedangkan fungsi,

Bentuk Pergeseran g

merupakan bentuk pergeseran dari fungsi y = 1/x². Selanjutnya perhatikan contoh berikut.

Contoh 3: Menuliskan Persamaan dari Fungsi Rasional

Identifikasi fungsi yang diberikan oleh grafik pada gambar di bawah, kemudian gunakan grafik tersebut untuk menuliskan persamaan fungsi tersebut. Anggap |a| = 1.

Contoh 3

Pembahasan Dari grafik di atas, kita dapat melihat bahwa grafik tersebut merupakan pergeseran dari fungsi y = 1/x ke kanan sejauh 2 satuan dan ke bawah sejauh 1 satuan. Sehingga asimtot horizontal dan vertikal dari grafik tersebut secara berturut-turut adalahy = –1 dan x = 2.

Sehingga, persamaan dari grafik di atas adalah

Contoh 3 Fungsi

yang merupakan bentuk pergeseran dari fungsi y = 1/x.

JENIS – JENIS FUNGSI RASIONAL

1. Fungsi Polinom

Fungsi yang banyak mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebasnya. Bentuk umum persamaan polinom adalah :

y = an xn + an-1 xn-1 + . . . + a1 x + a0

dengan an , an-1 , …. , a1 , a0 € R koefisien/konstanta

suku banyak an ≠ 0 , dan n bilangan bulat positif.

Pangkat tertinggi pada variabel suatu fungsi polinom mencerminkan derajat polinomnya, sekaligus juga mencerminkan derajat persamaan atau fungsi tersebut.

Nilai suku banyak

Nilai suku banyak f(x) untuk x=k atau f(k) dapat ditentukan dengan substitusi atau dengan skema Horner

Cara subtitusi

Dengan mensubtitusikan x = k ke suku banyak

f(x) = anxn + an-1 xn-1 + . . . + a1 x + a0

f(x) = an kn + an-1 kn-1 + . . . + a1 k + a0

Cara skema horner

Misalkan f(k) = ax3+ bx2 + cx + d maka f(k) = ak3 + bk2 + ck + d

ax3 + bx2 + cx + d = (ak2 + bk + c)k+d

= ((ak + b)k + c)k+d

Contoh Soal

Diketahui suku banyak p(x) = 2x4 + x2 – 4x + 6

Tentukan derajat, koefisien-koefisien dan suku tetap dari suku banyak p(x)

b. Tentukan nilai suku banyak p(x) untuk x=-1

Jawab

P(x) = 2x4+ x2 – 4x + 6

= 2x4 + 0x3 + 1x2 +(-4)x + 6

Derajat suku banyak adalah 4

Koefisien x4 adalah 2

Koefisien x3 adalah 0

Koefisien x2 adalah 1

Koefisien x adalah -4

Suku tetap adalah 6

P(x) = 2x4+ x2 – 4x + 6

P(-1)  = 2(-1)4 + (-1)2 – 4(-1) + 6

= 2 + 1+ 4 + 6

= 13

Jadi nilai suku banyak p(x) untuk x=-1 adalah 13

2. Fungsi Linear

Fungsi linear ialah fungsi polinom khusus yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu, oleh karenanya sering juga disebut fungsi berderajat satu.

Bentuk persamaannya:

y = ax + b

Dimana :

y = Variable tidak bebas

x = Variable bebas

a dan b = konstanta.

Ciri – ciri persamaan linear:

Apabila a > 0 maka garis akan bergerak dari bawah ke kanan atas.

Apabila a < 0 maka garis akan bergerak dari kiri atas ke kanan bawah.

Apabila a1 ≠ a2 maka garis akan berpotongan.

Apabila a1 = a2 maka garis akan sejajar.

titik b merupakan perpotongan pada sumbu y.

Jika a positif maka gambar membuka ke atas.

jika a negatif maka gambar membuka ke bawah.

semakin besar a, maka gambar semakin sempit.

semakin kecil a maka gambar semakin lebar

titik puncak membelah gambar sama besar

titik a merupakan titik potong fungsi dengan sumbu y dimana x  =  0

titik b dan c merupakan titik potong fungsi dengan sumbu x dimana y  =  0

Titik p disebut titik puncaka disebut juga tan α, a juga berarti menunjukan arah.Rumus umum tan α :

a = y2 – y1

x2 – x1Contoh soal

x 1 2 3

y 9 11 13

Tentukan persamaannya

Jawab  :

y    =  ax + b                            9    =   a + b

9    =  a + b                              11  =   2a + b    _

11  =  2a + b                            -2   =  -a

13  =  3a + b                            a    =  2

9  =  a + b

9  =  2 + b

                                              B  =  7

Jadi persamaannya  y  2x + 7

3. Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2. Mirip dengan persamaan kuadrat, namun berbentuk suatu fungsi.

Bentuk umumnya adalah: f(x) = ax^2 + bx + c, dengan a, b, c suatu bilangan real dan a \neq 0.

Contoh: f(x) = 3x^2 + 5x + 7.

Dengan demikian, f(0) = 3 \cdot 0^2 + 5 \cdot 0 + 7 = 7, f(4) = 3 \cdot 4^2 + 5 \cdot 4 + 7 = 75, dll.

Ciri-ciri persamaan kuadrat

Jika a positif maka gambar membuka ke atas.

jika a negatif maka gambar membuka ke bawah.

semakin besar a, maka gambar semakin sempit.

semakin kecil a maka gambar semakin lebar

titik puncak membelah gambar sama besar

titik a merupakan titik potong fungsi dengan sumbu y dimana x  =  0

titik b dan c merupakan titik potong fungsi dengan sumbu x dimana y  =  0

Titik p disebut titik puncak

jika x  =  0 maka c merupakan titik potong dengan sumbu y

Grafik/Kurva Fungsi Kuadrat

Jika digambarkan pada koordinat Cartesius, grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Parabola nya terbuka ke atas jika a>0 dan terbuka ke bawah jika a<0.

Berikut ini langkah-langkah dalam menggambarkan grafik/kurva nya:

Pertama, tentukan titik potong y = f(x) = ax^2+bx+c terhadap sumbu X, yaitu nilai x saat y=0. Dengan demikian, nilai titik potong ini merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat ax^2+bx+c=0.

Kemudian, tentukan titik potong terhadap sumbu Y, yaitu nilai y saat x=0.

Setelah itu, tentukan sumbu simetri nya. Sumbu simetri merupakan garis yang membagi dua parabola menjadi sama besar. Titik potong sumbu simetri terhadap sumbu x dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

x = \frac{-b}{2a} atau x = \frac{x_1+x_2}{2}.

Terakhir, tentukan titik puncak (titik balik maksimum atau minimum) grafiknya. Titik puncak merupakan titik di mana nilai y = f(x) mencapai nilai maksimum atau minimum, sehingga parabola nya akan berbalik arah.

Koordinat titik puncak parabola adalah:

(\frac{-b}{2a}, \frac{D}{-4a}).

Di mana D adalah diskriminan, yaitu D = b^2 - 4ac.

Setelah mendapatkan titik-titik di atas, maka kita dapat menggambar grafik fungsi kuadrat dengan menghubungkan titik-titik diatas dengan garis yang berbentuk parabola.

Agar parabolanya terlihat lebih halus (smooth), kita dapat menghitung/menentukan titik-titik lain yang dilewati oleh kurva/fungsi y=f(x).

Berikut ini merupakan contoh grafik fungsi kuadrat y = f(x) = x^2-5x+4:

fungsi kuadrat contoh soal

Contoh Soal:

Jika y = f(x) = 2x^2 - 11x + p mempunyai nilai minimum - \frac{1}{8}, tentukanlah nilai p.

Jawab:

Nilai minimum tersebut merupakan titik puncak y= f(x).

Dengan demikian, dengan menggunakan rumus titik puncak kita dapat:

Titik puncak = \frac{b^2-4ac}{-4a} = \frac{(-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot p}{-4 \cdot 2}.

\Longleftrightarrow \frac{121-8p}{-8} = - \frac{1}{8} \Longleftrightarrow 121-8p=1 \longrightarrow 8p = 120.

Dengan demikian, p = \frac{120}{8} = 15.

4.Fungsi Kubik

Fungsi kubik atau fungsi berderajat tiga ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat tiga. Setiap fungsi kubik setidak – tidaknya mempunyai sebuah titik belok (inflextion point), yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung atau cembung menjadi cekung. Selain titik belok, sebuah fungsi kubik mungkin pula mempunyai satu titik ekstrim (maksimum atau minimum) atau titik dua ekstrim (maksimum atau minimum). Ada tidaknya titik ekstrim dalam suatu fungsi kubik tergantung pada besarnya nilai-nilai b, c, dan d di dalam persamaannya. Dengan demikian terdapat beberapa kemungkinan mengenai bentuk kurva suatu fungsi kubik. Fungsi-fungsi kubik hanya mempunyai titik belok, tanpa titik ekstrim.

Fungsi Kubik

Mencari :

Titik Ekstrims

Titik Belok

Y = f(X)

v  Titik Ekstrims pada saat Y’ = 0

v  Titk Maksimum : Y’’ < 0, pada Y’ =0

v  Titk Minimum : Y’’ > 0, pada Y’ = 0

v  Titik belok : Y’’ = 0 , kemudian substitusikan ke fungsi asal, yi  Y = f(X)

Misal : C =1/3Q3 -3Q2 +8Q +5

C = Y dan Q = X (analogi rumus)

Penyelesaian :

C’ = 0 , maka 0 = Q2 -6Q +8

0 = (Q – 4) (Q – 2)

Q1 = 4 dan Q2 = 2

C’’ = 0 , maka 0 = 2Q – 6

Q1 = 4, maka 0 = 2 (4) – 6 = 2 ;(2>0)

Pada Q1 = 4 merupakan titik minimum

Q1 = 4 ;C=1/3(4)3 – 3(4)2 +8(4) +5 =10,33

Jadi pada Q1 =4,merupakan titik minimum pada (4 ; 10,33)

Q2 = 2 , pada C’’ = 2(2)-6 = -2 ;(-2<0)

Sehingga pada Q2 = 2 merupakan titik maksimum .

Q2 = 2, maka C = 1/3(2)3 – 3(2)2 +B(2)+5 = 11,67

Titik maksimum pada (2 ; 11,67)

Mencari titik belok

Titik belok pada saat C’’ = 0

C’’ = 2Q -6 ; 2Q -6 = 0, maka Q =3

Q = 3 , maka C =1/3(3)3 – 3(3)2 =*(3) +5 = 11

Titik belok pada (3 ; 11)

Contoh Soal :

Permintaan suatu barang : Qd = 25 – 3P2

Apabila P = 5, berapa elastisitas permintaannya :

Qd = 25 – 3P2  ; Q’d = -6P

Ed = -6 P. P

25 – 3P2  = 3 (elastik)

Fungsi bikuadrat

Merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesarnya Vvariabelnya adalah 2. Mirip dengan persamaan kuadrat, namun berbentuk suatu fungsi.

GRAFIK/KURVA FUNGSI KUADRAT

Berikut ini langkah-langkah dalam menggambarkan grafik/kurva nya:

Pertama, tentukan titik potong  terhadap sumbu , yaitu nilai  saat . Dengan demikian, nilai titik potong ini merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat .

Kemudian, tentukan titik potong terhadap sumbu , yaitu nilai  saat .

Setelah itu, tentukan sumbu simetri nya. Sumbu simetri merupakan garis yang membagi dua parabola menjadi sama besar. Titik potong sumbu simetri terhadap sumbu  dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

atau .

Terakhir, tentukan titik puncak (titik balik maksimum atau minimum) grafiknya. Titik puncak merupakan titik di mana nilai  mencapai nilai maksimum atau minimum, sehingga parabola nya akan berbalik arah.

Koordinat titik puncak parabola adalah:

Di mana D adalah diskriminan, yaitu .

Setelah mendapatkan titik-titik di atas, maka kita dapat menggambar grafik fungsi kuadrat dengan menghubungkan titik-titik diatas dengan garis yang berbentuk parabola.

Agar parabolanya terlihat lebih halus (smooth), kita dapat menghitung/menentukan titik-titik lain yang dilewati oleh kurva/fungsi .

6. Fungsi Pangkat

Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, dan c bilangan real dan disebut fungsi kuadrat.

Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat  ax2 + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.

Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 + bp + c.

Contoh 1:

Ditentukan: f(x) = x2 – 6x – 7

Ditanyakan:

nilai pembuat nol fungsi f

nilaif untuk x = 0 , x = –2

Jawab:

Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jikaf(x) = 0

x2 – 6 x – 7 = 0

(x – 7) (x + 1) = 0

x = 7  atau  x = –1

Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7  dan –1

Untuk x = 0   maka f(0) = –7

x = –2  maka f(–2) = (–2)2 – 6 (–2) – 7 = 9

Contoh 2:

Tentukan nilai p agar ruas kanan f(x) = 3 x2 + (p – 1) + 3 merupakan bentuk kuadrat sempurna.

Jawab :

Supaya merupakan suatu kuadrat sempurna, syaratnya D = 0.

D = (p – 1)2 – 4 . 3 . 3 = 0

p2 – 2p – 35 = 0

(p – 7) (p + 5) = 0

p = 7   atau   p = –5

Jadi, agar ruas kanan f(x) merupakan suatu kuadrat sempurna, maka p = 7 atau p = –5.

Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi KuadratUntuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:

1)      f(x) = x2 – 2x – 3

=  x2 – 2x + 1 – 4

= (x – 1)2 – 4

Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)2 mempunyai nilai paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x – 1)2 – 4 mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –4.

Jadi, f(x) = x2 – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x = 1.

2)      f(x) = –x2 + 4x + 5

= –x2 + 4x – 4 + 9

= –(x2 – 4x + 4) + 9

= –(x – 2)2 + 9

Nilai terbesar dari – (x – 2)2 sama dengan nol untul x = 2.

Dengan demikan nilai terbesar dari – (x – 2)2 + 9 adalah 0 + 9 = 9.

Jadi, f(x) = –(x – 2)2 + 9 atau f(x) = –x2 + 4x + 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x = 2.

Sekarang perhatikan bentuk umum  f(x) = ax2 + bx + c

Dengan uraian di atas, diperoleh:

Fungsi kuadrat f(x) = a x2 + b x + c

Untuk a > 0, f mempunyai nilai minimum  untuk

Untuk a < 0, f mempunyai nilai maksimum  untuk

Contoh:

Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x2 + 4x + 7

Jawab:

f(x) = 2x2 + 4x + 7  ,  a = 2  ,  b = 4  , c = 7

Nilai minimum fungsi f = 5